小波卷积和滤波器通过将每个数据点设置为周围数据点的加权和来突出和显示数据的特征。类似地，空间滤波器为每个点击定义权重，以使所有电极上的活动加权总和有助于突出显示在未经空间滤波的数据中难以发现的特征。
空间滤波器之间的差异是由构建权重时使用的信息类型产生的。表面拉普拉斯算子根据电极间距离定义权重。 主成分分析根据电极间协方差的模式定义权重。 一些源估计程序（例如波束成形）基于电极活动和物理电极位置来定义权重。
22 表面拉普拉斯
表面拉普拉斯算子是空间带通滤波器，可通过有效滤除数据的空间广泛特征来提高地形选择性。
拉普拉斯表面的“原始”单位是微伏每平方毫米（μV/ mm2），通常转换为平方厘米。 对于许多涉及相位值或使用基线归一化的时频分析，单位并不重要，因为数据会重新缩放为百分变化，分贝或其他值。
由于表面拉普拉斯算子是基于空间采样和空间加权的，因此您拥有的电极数量对于表面拉普拉斯算子的准确性很重要。 通常，电极越多越好。 64个电极是一个合理的最小值，> 100个电极将提供更准确的结果。也有研究提供了16个电极的计算方法。
对EEG数据执行表面拉普拉斯
对表面拉普拉斯算子的基本近似是从每个电极中减去紧邻电极的平均活性。 但是，这不是最优雅的解决方案：体积传导不仅会扩散到最近的邻居，而且会扩散到几十厘米远的许多电极，而且体积传导的影响并不会平等地影响所有相邻电极。
有几种算法可以计算表面拉普拉斯算子，其算法比最近邻算术更精确。 如果头部是完全平坦的二维（2-D）表面，计算二阶空间导数将很容易。 但是，不幸的是，头部不是一个平面，而是一个可以用球近似的复杂3D对象。 因此，表面拉普拉斯算子的计算必须与球形空间导数相关。 一些解决方案，通常称为去模糊或硬脑膜成像，依赖于在不同头组织上具有指定电导率的三壳或四壳球形或真实头模型。 其他解决方案基于球形样条插值，并且不对头部组织的电导率做出任何假设。 许多关于表面拉普拉斯算子的解提供了定性相似的结果，在某些情况下甚至提供了几乎相同的结果。 此处介绍了Perrin及其同事的球面样条法。
计算拉普拉斯算子的第一步是计算G和H矩阵。 这些是拉普拉斯计算中使用的逐个电极加权矩阵：
其中，i和j是电极，m是与结果的平滑度有关的常数正整数。 m的值从2到6是合理的，可以将其固定为4，对于高密度记录，可以将其固定为3。 较小的值将产生仅包含非常高的空间频率的结果，而较大的值将产生仅包含非常低的空间频率的结果。
P是勒让德多项式，通常用于球坐标距离； n是勒让德多项式的阶项（从一个到阶），它定义了相对于每个电极的空间谐波频率。 较大阶数的参数将提高G和H矩阵的精度。 建议使用数量级为7的电极。使用64个电极时，精度似乎会提高，直到达到数量级10左右为止，而几乎没有G和H矩阵的改进或更改（但需要更长的计算时间）超过10。您可以将此参数保留为10或测试最佳值。
可以认为此参数与结果的频率精度有关。 如果阶数较小，则将仅提取低频分量，这可能是您想要从表面拉普拉斯算子得到的对立面。 对于64个电极，有序值大于10意味着拉普拉斯算子的空间频率精度超过了EEG帽的空间分辨率，这就是为什么高于10的值对64个电极影响很小的原因。 对于100个以上的电极，尤其是200个以上的电极，结果将受益于较大的Legendre多项式，可能高达13或15。
勒让德多项式中的cosdist项是所有电极对之间的余弦距离（电极的位置归一化为单位半径球，因为勒让德需要-1至1之间的距离），并根据以下公式计算：
一旦创建了G和H矩阵，它们就可以用于计算拉普拉斯算子。 公式如下
其中λ是添加到G的对角元素的平滑参数。 通常，对于64个电极，应使用
这些方程式的呈现方式就像是针对每个电极和每个时间点分别计算拉普拉斯算子一样，但这只是为了便于解释。 实际上，可以使用矩阵代数为所有电极和所有时间点同时计算拉普拉斯算子。 大约可以提升1000倍的速度。
应用于地形定位
拉普拉斯表面将有助于将地形特征隔离到几平方厘米以内。 这是因为由深或强大的体积传导源驱动的空间上宽阔的地形成分通常不在拉普拉斯滤波器的空间频率范围内，因此会被衰减。
由于表面拉普拉斯算子会衰减低空间频率特征，因此，如果那些伪像具有低空间频率的特征，那么它们也会衰减污染数据的伪像，例如眼动和肌电干扰。
在比较未过滤的空间和表面拉普拉斯地形时，有三种可能的结果。 首先，在空间上未经过滤的数据和表面拉普拉斯算子中，地形活动看起来都相似。 这表明该活性是本地产生的。 在下图中，左前中央分量在600 ms处可见一个这样的例子。 第二个可能的结果是，在表面拉普拉斯算子中有可见的地形图，这些图在空间未过滤的数据中不可见或难以可视化。 这是最典型的情况，表明存在体积传导效应所掩盖的局部皮质动力学，而这些局部动力学被拉普拉斯表面暴露出来。 在下图中有几个这样的示例，包括200 ms处的右侧枕骨成分，300 ms处的双侧枕骨成分以及300至600 ms处的右额中央区域的相对负成分。 最后，在未过滤的空间数据中可能会出现在拉普拉斯算子中不可见的地形图案。 这表明空间模式反映了体积传导的活动。
应用于联通性分析
将表面拉普拉斯算子应用于EEG数据有助于使数据适合于连通性分析。 这是因为表面拉普拉斯算子最小化了体积传导效应，而体积传导效应是潜在的虚假连接结果的源头。 图22.7说明了在计算拉普拉斯算子之前，连接性如何几乎完全由电极间距离驱动。 确实，在这个例子中，大约80％的连通性变化可以完全由距离来解释（下图A）。 相反，在计算了表面拉普拉斯算子之后，仅对于紧邻的相邻电极，连通性与电极间距离密切相关（下图B）。
下图通过显示来自一个电极的“种子”连接进一步说明了这一点。 地形图显示了每个电极与Cz之间的连接强度。 显然，在图22.8A中，连接强度与到Cz的距离之间存在很强的关系。 相反，在应用表面拉普拉斯算子之后，电极间距离与连接强度之间的关系似乎仅适用于最近的邻居（图B）。
需要强调的是，表面拉普拉斯算子不能保证消除所有的体积传导效应。 因此，不能简单地应用表面拉普拉斯算子，然后确信体积传导将永远不会产生大量的连通性结果。 更确切地说，表面拉普拉斯算子是将体积效应虚假地引起连通性影响的可能性最小化的几种策略之一。
应用于清除地形噪声
尽管有时将表面拉普拉斯算子称为高通空间滤波器，但实际上它是带通空间滤波器。 这意味着表面拉普拉斯算子不仅会去除低空间频率分量，还会去除非常高空间频率的分量。 对于64个电极，拉普拉斯算子可以有效地成为高通空间滤波器。
但是，对于高密度脑电图（> 100个电极，尤其是256个电极），空间分辨率足够高，可以观察到拉普拉斯表面的带通空间滤波特性。 这意味着除了低空间频率分量之外，数据的非常高空间频率分量也将被衰减。 这对于清除某些地形噪声可能很有用。 由于单电极噪声尖峰具有较高的空间频率，因此它们会被表面拉普拉斯算子衰减。
不应依赖使用表面拉普拉斯算子作为收集嘈杂数据的借口，也不应取代常规的数据清理和预处理协议。 然而，拉普拉斯算子的这一特征是其作为数据分析中使用的处理工具（尤其是用于高密度EEG帽）的处理工具的另一个优势。 如本章前面所述，必须将表面拉普拉斯算子应用于所有数据或不应用于任何数据。 您不能仅在几个嘈杂的时间点上应用表面拉普拉斯算子。
23 主成分分析
第10章介绍了这样的思想，即可以将一个时间点的EEG数据概念化为高维空间中的位置，每个维对应于每个时间点（或者就本章而言，每个维对应于每个电极 ）。 在此框架中，随着时间的推移，EEG数据可以被概念化为一条穿过此高维空间的直线。 此概念化对于主成分分析（PCA）很有用。 PCA的目标是基于一组相关变量的协方差来构造权重集（称为主成分），以便成分解释数据的所有方差，从而使成分（1）不相关（2）第一个主成分为一个变量解释尽可能多的方差，第二个主成分在与第一个成分正交的情况下为一个变量说明尽可能多的剩余方差，等等。 解释PCA的另一种方法是，它在N维空间中旋转轴，以使沿每个维的方差最小化，并且轴彼此正交。
有几种方法可以解释对EEG数据的PCA结果。 一种解释是几何的-每个主要成分都是在64维空间（每个电极一个维）中的一个向量，该向量表征了数据分布的“方向”。 另一种解释是PCA可用于创建一组空间滤波器，其中每个电极的权重由电极间时间协方差的模式定义。 因此，PCA突出显示了可能是在空间未经过滤的数据中难以识别的数据的特定特征，因为它们是由所有电极的加权组合创建的。 PCA也可以解释为一种数据缩减技术，通过假设占方差相对较大比例的分量反映真实信号，而将占方差相对较小的分量反映噪声，则可以将数据缩减为较小的维数。
回顾上一章，表面拉普拉斯算子是根据电极间距离计算权重的。 对于PCA，仅根据数据的统计属性来定义权重而不考虑物理电极位置。 PCA和表面拉普拉斯算子可以概念化为提供有关空间频谱的空间过滤器：表面拉普拉斯算子显着衰减低空间频率活动，因此突出显示了数据的局部特征，而PCA则突出显示了数据的局部空间特征。 通过识别大规模协方差的模式来获得数据。
可以通过任何一组变量和观察值来计算PCA。 在本章中，以电极为变量，以时间点为观测值来表示PCA。 PCA是识别变量之间协方差模式的通用框架，而与定义协方差矩阵所用的维度无关。 例如，可以根据频率信息或时频结果来计算PCA。
计算方法
首先，计算协方差矩阵，公式如下：
计算出协方差矩阵后，下一步时通过Matlab函数eig进行特诊分解（也可以使用matlab函数svd进行奇异值分解）。通过将每个特征值除以所有特征值的总和再乘以100，将特征值缩放为占百分比方差的比例。请注意，Matlab函数eig以升序返回特征值和特征向量。 您可能会发现将组件按降序排序更为直观（因此，最大的组件是第一个而不是最后一个）。可以将每个组件的电极权重绘制为地形图，并通过将权重乘以电极时间序列数据来获得组件的时间进程。
在下图中可以看到在由ERP定义的协方差矩阵与从单个试验定义的协方差矩阵上执行PCA之间的差异。 A显示基于ERP的协方差矩阵的前六个PCA地形图和时程，B显示基于单个试验的协方差矩阵的前六个成分。 尽管这两个分析是基于相同的时域数据集，但它们之间还是存在明显差异。 例如，一个定性差异是，面板B中的PC4似乎是双侧感觉运动成分，在面板A的前六个成分中并不明显。 由于每个试验的响应时间各不相同，因此与响应相关的活动虽然在每个试验中都存在，但在刺激锁定的ERP中几乎没有代表。
区分主成分和非主成分
PCA中成分的数量等于电极的数量。 但是，您会注意到，只有前几个成分占“大量”方差，而大多数后面的成分占相对较小的方差。 通常在PCA中，前几个分量将被视为信号，而后几个分量将被视为噪声。 阈值的一种方法是计算在所有电极彼此不相关的情况下每个组件所期望的解释方差百分比。 在这种情况下，每个组件将解释方差的[100×1 / M]百分比，其中M是电极/组件的数量。确定阈值的另一种方法是使用置换测试，其中，对数据进行随机混洗，对混洗后的数据进行PCA计算，将经过多次重复处理后平均的混洗后数据中解释的方差量用作阈值。
一旦确定了重要的组成部分，便有几个后续的分析选项。 您可以将PCA视为降维技术，并且仅分析重要组件，而不分析所有64个电极。 这将有助于最大程度地减少噪声并减少多个比较问题。 或者，您可以将PCA视为仅通过投影重要分量来对数据进行降噪的一种方法。 另一种选择是检查一个或所有信号分量在数据中解释了多少方差。
时间参数选择
在大多数情况下，大约400毫秒的时间窗口就足够了。 除非您有特殊的理由，否则应避免少于100 ms的时间窗； 这样的短窗口可能会导致信噪比协方差矩阵低。 对于静态数据，您可以通过将数据分割为1-2秒的非重叠窗口来提高信噪比。
PCA和时频信息结合
PCA可以与时间带通滤波结合使用，以突出显示特定于频段的空间特征。
24 单偶极子和分布式源成像
从单偶极拟合到分布式自适应源成像的源空间成像方法定义了每个电极的权重集，使得所有电极的加权和都是对大脑某些物理位置产生的活动的估计。 源成像的两个重要概念是向前解和反问题。 向前解是对地形图的一个估计，它是由特定方向的大脑特定区域中的偶极子活动引起的。 反问题是估计哪些偶极子以什么方位和什么大小可以产生观测到的地形图。
正向解
试想一下，您可以将一个小的探针放到大脑中，以发送无线电信号。 当您激活探针时，从头皮上的电极发出的信号看起来像什么？ 这个问题的答案是正向解决方案。
这种虚构的发射无线电信号的探头不能在所有方向上均等地广播，而是以偶极方式广播。 因此，对于空间的不同方向，可能有一个向前的解决方案。 对于某些前向解，对三个固定方向（沿基本x轴，y轴和z轴）进行了建模，如图24.2所示。 对于其他正解，仅对垂直于皮质的偶极子进行建模。（1）头皮上电极位置的测量精度;（2）包括皮质折叠的正向模型;（3）电极位置与MRI之间的共射性可以提高定位精度。 但是，由于这些因素中的任何一个或全部都存在不确定性，因此对所有三个方向进行建模都可以提高重构信号的准确性。
有多种方法可以计算正向解，其复杂性和解剖现实性不尽相同，从假定头部是理想球体的单球或多球壳模型到特定于受试者和MRI定义的现实头部模型。 大多数M / EEG数据分析包提供至少一种计算正向模型的方法。 OpenMEEG软件包（Gramfort et al.2010）在多个分析程序中实现，并且相对快速，准确。
反问题
反问题是对这个问题的最佳答案：鉴于我观察到的拓扑活动模式，最可能出现的脑源位置，方向和大小是多少？ 产生了这种地形活动模式？ 从理论和实践两个方面都可能很难回答这个问题。 从理论上讲，没有唯一的解决方案。 这意味着可以产生相同的拓扑图的大脑活动有许多可能的配置，并且可能非常不同。
偶极拟合
偶极拟合涉及估计大脑中的单个点或少量点，这些点解释了地形变化的最大量。 一旦估计了偶极子的位置，方向和大小，就可以确定每个电极的权重，使得所有电极上的活度的加权总和就是偶极子活度的估计值。 偶极子拟合通常在时域数据（ERP）上完成，并且通常在一个时间点或时间窗的平均值上完成，尽管也可以在一段时间内计算出偶极子（例如，这可以实现 ，在BESA：Scherg，Bast和Berg，1999年）。 一旦构建了权重，就可以创建一个偶极子时间序列，并且可以对该时间序列进行分析，包括时频分解。
非自适应分布式源成像
想象一下在偶极子上估计活动，但不是有少数偶极子会估计其位置，方向和大小，而是在整个大脑上有成千上万个偶极子，它们具有固定的位置和方向，并且仅估计了它们的大小。 这就是分布式源成像的想法。 对于分布式源成像，分析的目的是为每个源位置定义一组电极权重。 也就是说，如果有64个电极，10,000个源位置和三个偶极子方向，您将拥有一个64×3×10,000的加权矩阵。 将所有电极的数据乘以该加权矩阵的第9876个元素的权重，可以估算出大脑中第9876个体素的活动。
非自适应方法基于电极相对于大脑的位置来计算这些电极权重。 因此，权重是固定的，不会随时间或频率变化。 LORETA和最小范数估计器是两种常用的非自适应逆源成像技术。 一些算法介于自适应和非自适应之间。 例如，某些最小范数估计器在估计权重时使用数据方差来计算平滑参数。
这些是非自适应分布式源模型的几个优点。 它们可以快速计算，可以应用于单个时间点的数据，并且可以生成类似于FMRI激活图的大脑图。 您需要选择的参数相对较少，这些参数可能会影响结果。 相对于自适应源成像方法的主要缺点是，每个电极的权重未针对数据的统计属性进行微调。 另一个缺点是可以计算比较数，并且必须在统计分析中控制比较数。
自适应分布式源成像
自适应分布式源成像方法与非自适应源成像方法的不同之处主要在于如何计算权重。 对于自适应分布式模型，权重不仅根据物理电极位置进行计算，而且还根据从这些电极记录的数据进行计算。 对于许多算法，权重是基于电极间活动的协方差来计算的。 这些协方差矩阵的计算方法可以与上一章中PCA所示的方法相同，也可以根据互谱密度计算（这是时域协方差矩阵的频域模拟）。 由于权重是根据协方差矩阵计算得出的，因此无法使用单个时间点来计算权重，而是必须基于时间窗口。 但是，在计算权重之后，可以将它们应用于单个时间点。 波束成形是用于EEG和MEG的自适应分布式源成像的最常见算法类别。
顾名思义，诸如波束成形之类的自适应空间滤波器的主要优点是权重适合于数据。 这意味着权重可以根据数据中协方差模式的变化而随时间，频率，状况和主题而变化。 这为检测结果的细微特征提供了更高的灵敏度，并提供了超过电极级记录的可能优势。 仿真研究表明，与其他源成像方法相比，波束成形可提供更高的准确性，并且波束成形对激活空间范围的过高估计最少。
自适应分布式源方法的主要缺点是必须设置的参数数量以及考虑这些参数可能对结果产生的影响。
空间精度和分辨率限制
仿真研究表明，使用非常精确的电极位置和正向模型可以获得与源磁共振成像相匹配的惊人的高空间定位精度。 然而，实际上，由于电极位置，大脑解剖结构，电极与MRI的共配准，头部运动以及脑电图，颅骨和头皮电导率的不确定性，通常无法获得如此高的准确性。 因此，很少见到关于源定位结果的fMRI级解剖学准确性的主张，在听到有人声称EEG源定位的空间精度达到了几厘米时应当小心判别。 如此高的空间精度是可能的，但并不常见。
人们经常说，MEG在源定位精度方面优于EEG。 仿真研究表明，脑电图的定位精度可以与MEG相当，甚至更高。MEG具有较高的灵敏度，部分是因为EEG对径向和切向偶极子敏感，而MEG对切向偶极子最大。 然而，提高脑电信号源重建的精度需要许多电极以及精确的电极位置，头部形状和脑前移模型（包括组织电导率的精确估计）。 这种测量精度通常不会在EEG上实现，而在MEG中更常见。 因此，在实践中，MEG的大脑定位精度通常要优于EEG的大脑定位精度。 随着脑电图电极技术的改进和特定对象电极位置的记录变得越来越普遍，脑电图源重建结果的准确性将得到提高。
连通性分析
25 连通性分析介绍
在神经科学的许多分支中，大脑网络如何发展，运行和支持认知是一个很大且正在发展的主题。 神经网络在多个时空尺度上运行），过去几十年来自多种物种，理论和数学模型的大量实证研究表明，振荡同步是神经种群传递信息的关键机制。 本章的目的是概述在认知电生理学中最常用的评估连接性的方法以及这些分析中涉及的问题。
此处使用的“连接性”一词是指一次考虑多个信号的任何分析。 这主要是指来自两个不同电极的两个信号，但也可以指来自同一电极的两个信号或来自多个电极的多个信号。 术语连通性包括使用各种线性和非线性方法基于相位和功率的度量。 这些分析通常有不同的假设，并利用脑电信号的不同方面，但具有识别大脑连通性的共同目标。
为什么是二元的？
大多数大脑连通性度量是二元的，这意味着它们仅涉及到两个大脑区域/电极之间的相互作用。为什么大多数连通性度量是二元的呢？
从实践的角度来看，越来越复杂的多节点大脑交互模型难以概念化，因此更容易将其分解为一组更简单的双变量案例。 因此，通过已建立的统计程序，双变量连通性分析更易于实现，解释和测试。 大量双变量连接方法的另一个可能原因是大脑确实以这种方式工作，而双变量连接是许多认知功能最相关的连接类型。
本书将重点放在双变量连接方法上是由于上面列出的实际原因：双变量方法更易于理解，实现，可视化和统计量化。 这绝不是对多变量连接方法的谴责，也不是对仅双变量连接与脑功能相关的观点的认可。 图论这一章介绍了一些多元网络分析。
您应该意识到，如果网络结构实际上是多变量的，则双变量相关性可能会夸大或歪曲关系的估计。 这与大脑的连通性特别相关，因为大脑是一个高度多元的系统。 对于与任务相关的连通性，条件比较可以缓解这种潜在的通货膨胀，因为膨胀的连通性估计会影响所有条件，因此，在连通性条件比较期间应减去通货膨胀。
连通性分析的重要概念
许多连通性分析，没有考虑两个电极之间的相位滞后。
连通性中的非零相位滞后不一定表示因果关系或有向关系。
25_1 基于阶段和基于功率的连通性度量倾向于揭示不同的结果模式。
区分功能连接和有效连接。
许多连通性结果可能与体积传导相混淆。
基于相位的联通性分析
基于相位的连通性分析（在第26章中有更详细的描述）依赖于两个电极之间的相角差的分布，其思想是，当神经种群在功能上耦合时，其振荡过程的定时（通过相位测量） ，变得同步。 基于阶段的连通性分析的数学与基础ITPC相似。
基于阶段的连通性分析有几个优点。 它们被广泛用于许多实验和许多物种中，并且已被用于检查许多时空尺度上的网络形成和网络动力学。 部分原因是基于阶段的连通性分析具有神经生理学解释。 这些分析的计算速度很快，因此可以快速检查结果，除了需要为时频分解选择的参数外，这些分析只需要很少的假设或其他参数选择。 一些基于相位的分析也对时滞不敏感（其他对时滞敏感），这意味着只要两个电极上的活度之间的时间关系在时间和/或试验中是一致的，则相位滞后将不会影响 连接强度。
还有一些缺点。 基于阶段的测量通常在相同的频带中依赖于精确的时间关系，因此在实验事件的精确定时中容易受到时间抖动或不确定性的影响。 如第19章所述，这些时间上的不确定性在较高的频率上可能会产生更显着的影响。第二，基于相位的度量无法提供令人信服的方向性证据。
基于功率的联通性
基于功率的连通性分析（在第27章中有更详细的描述）涉及在整个时间或整个试验过程中关联两个电极之间的时频功率。 这些相关性可以在相同或不同频率以及相同或不同时间点的活动之间进行计算。
基于功率的连接性度量为灵活的分析提供了充足的机会，可以针对测试特定的假设进行量身定制，这些灵活性的分析也可以用于数据驱动的探索性分析。 基于功率的连通性度量可以说是与fMRI中经常使用的连通性度量最为相似，例如心理生理学交互作用（基于相关的体素对之间的BOLD时间序列），因为相关的活动波动相对较慢， 与基于阶段的连通性度量相比。 如图19.9所示，基于电源的连接性措施对时间抖动和不确定性也相对不敏感。
格兰杰预测
Granger预测（也称为Granger因果关系；在第28章中有更详细的描述）测试是否可以根据时间上较早的另一信号的变化来预测一个信号的变化。 Granger预测与其他基于自回归的定向连接性估计相似，并且在某些情况下相同，包括定向传递函数（Kaminski等，2001）和部分定向相干性。 Granger预测的主要优点是它可以测试并可以分离方向连通性，即A→B与B→A连通性。 它可以忽略同时连接，从而使其不易受到体积传导的影响。 有多种基于Granger预测的多元网络复杂分析，尽管通常在文献（和本书）中使用“基本”双变量Granger预测分析。 Granger预测有一些缺点。 它对违反稳定状态很敏感，执行起来很耗时，并且将结果数量加倍，因为每对电极都包含两个连通性值（A→B和B→A连通性的估计值）。 如果以探索性方式使用Granger预测，则需要控制的统计比较次数将是原来的两倍，因此，对于大规模的探索性分析，Granger预测可能会变得乏味。
互信息
互信息是检测两个变量之间共享信息的一种简单而强大的方法。 它是根据变量中值的分布以及两个（或多个）变量的联合分布来计算的（请参阅第29章中更详细的描述）。
相互信息分析有几个优点。 首先，互信息可以检测多种关系，包括关联无法识别的线性和非线性相互作用。 例如，圆的相关系数为零，但互信息值大于零。 第二，互信息在工程和信息技术中有着悠久的使用和发展的传统。 最后，对于使用互信息和熵来估计系统复杂度或信号传输完整性（例如，信道编码定理），还有一些扩展。
使用互信息检查大脑的连通性还有一些弊端。 首先，互信息不提供有关关系是线性的还是非线性的，或者是正的还是负的信息。 其次，它对直方图块的数量敏感。 这很容易控制，但如果在分析期间未解决，可能会造成重大混淆。 第三，它可能需要大量计算，尤其是用于探索性分析时。 最后，尽管它是一种广泛使用的信号处理技术，并且在量化非线性相互作用方面可能特别有利，但它并没有明确的神经生理学解释。
跨频率耦合
跨频耦合（在第30章中有更详细的描述）是指两个不同频带中活动之间的统计关系。 它可以用来推断局部组织（当在单个电极上测量时）和远程连接性（当从不同电极测量两个频段的活动时）。 跨频耦合已经在几个物种中观察到，并且已经与认知和知觉过程（Canolty and Knight 2010）和疾病状态（Allen et al。2011）相关。 跨频耦合有几个优点。 它提供了可以跨物种和计算模型链接的发现，并且有理论提出交叉频率耦合在大脑信息处理中的关键作用（例如Lisman 2005）。 跨频耦合也可能有助于识别与任务相关的高频功率，这在基于试验平均的分析中可能难以通过EEG进行识别（Nunez和Srinivasan，2010年）。
主要缺点（如果您喜欢探索性数据挖掘，这可能是一个优势）是存在潜在的巨大搜索空间（频率×频率×电极×电极×条件×时间），这意味着跨频耦合分析可能是时间 统计分析期间需要控制很多测试。 如果您有帮助约束分析的假设，则可以将其最小化。
图论
图论（在第31章中有更详细的描述）是用于表征网络的数学框架，该网络可以表示为包含节点和顶点的图（对于EEG连接，节点和顶点分别是电极和连接强度）。 有许多分析属于伞词图理论，它们通常可用于提供有关大规模或多变量网络动力学的摘要信息。
基于图论的分析有几个优点。 它们提供了有用且通常易于解释的多元网络特征。 由于图论为网络的概念化提供了通用的数学框架，因此可以将相同的分析应用于非常不同的数据类型，并且可以在例如EEG连接性，扩散MRI连接性和 Interneuron尖峰共定时。 因此，基于图论的方法可以促进跨方法和跨物种的比较。 图论可以说是认知电生理学中一个未被充分利用的分析框架，它可以为认知过程的电生理网络级机制提供新颖的见解。
基于图论的测量方法的主要缺点是，它们经常（尽管不总是）用于探索性数据挖掘分析中，而缺乏理论框架来理解研究结果并将结果与大脑的其他已知功能特性联系起来 。 这可能是不利的原因是，使用了许多基于图论的度量标准，并且应用相对较少，并且可能难以比较使用不同方法且未检验特定假设的研究结果。
25 基于相位的联通性
ISPC与第19章中介绍的ITPC相似。ITPC定义为许多单位矢量的平均矢量长度，其相位角是由复数子波和交点之间的卷积导致的复数空间中的点获得的。 ISPC的工作方式类似，但不是取相角的平均值，而是取电极之间随时间变化的相角平均值。
跨试次 ISPC
跨试次 ISPC是一种相似但替代性的评估与任务相关的方法。对于跨试次 ISPC，该假设与随时间进行聚类的相角差略有不同：该假设是，相对于重复试验中的实验事件，连通性会在每个时频点上产生相位值的聚类。 这是一个微妙但重要的区别。 对于ISPC试验，在每个时间点都在试验中生成相角差的分布，而对于ISPC时间，则在每个试验中在时间点上计算相角差的分布。 试验与时间之间的计算连通性之间的区别对分析和解释都有影响，在接下来的几章中将多次提到。 本书中讨论的大多数连通性分析都可以随着时间的推移或通过试验进行计算。
跨试次ISPC有两个优点。 首先，与ISPC相比，它为连接中与任务相关的调制提供了更强有力的证据，因为在每个试验中，连接必须处于相同的阶段配置。 其次，在每个时间点分别计算ISPC试验，这意味着除了小波卷积或带通滤波引入的时间精度外，没有其他时间精度损失。 如果您有关于数十到数百毫秒的连接时间过程的假设，则应优先选择ISPC试用版，而不是ISPC。 ISPC试用版的两个缺点是，它对实验事件的时间不确定性中的轻微抖动敏感，并且它可能无法检测到每次试验中发生的连通性，但是在整个过程中相位值不同。
可以对提供相位值的任何时频分解方法的结果执行ISPC试用，包括复数小波卷积，希尔伯特滤波器，短时FFT和多锥度。 ISPC时间只能在时频分解方法的结果上执行，该方法提供的相角时间序列具有与原始数据相同的时间分辨率。 本书介绍的可用于ISPC时间的两种方法是复数小波卷积和滤波器希尔伯特。
带权跨试次ISPC
加权ISPC试用版可让您测试ISPC试用版与多种试验行为或实验变量（例如反应时间或刺激功能）之间的统计关系（Cohen和Cavanagh，2011年）。 wISPC试验的程序与wITPC的程序相同（第19.7节），只是使用两个电极之间的相角差代替一个电极的相角。 wISPC试用版还可以帮助断开连接与体积传导：如果wISPC试用版很重要，但功率与相同的试验变化变量之间没有类似的关联，则试验变化的相角差不太可能是 由于体积传导活动。 将ISPC-time与一个试用变化的变量相关联并不需要与wITPC-trials相同的过程，因为已经可以在每个试验中计算出连接值。 因此，您可以简单地将每个时频点的ISPC值与试验不同的变量相关联（最好使用Spearman的相关性，因为ISPC值是非正态分布的）。
应该使用哪种相位联通性方法
基于阶段的连通性度量最合适，部分取决于分析的假设驱动方式与探索和数据驱动方式之间的关系。 如果您有关于少量特定连接模式的先验假设，则ISPC与针对体积传导的测试相结合可能是一个更好的选择，因为ISPC对检测连接具有最大的敏感性，而无论相角差异如何。
另一方面，如果您没有或只有很少的假设，因此将通过测试许多电极对，时间点和频带上的连通性来进行大量数据解释，那么最好使用连通性测度 对体积传导不敏感，甚至有可能忽略某些潜在的真实连接模式的风险，因为检查数百或数千个结果中是否存在体积传导可能造成的污染是不切实际的。 使用诸如相位滞后指数或虚相干之类的措施，您可以更加自信地将体积传导污染降至最低。 另一方面，由于它们也对相角分布的平均相角敏感，因此基于相位滞后的量度可能最适合未在各个条件下比较连接强度的静止状态或任务。
另一个要考虑的因素是是根据试验还是随着时间计算连接性。 您对假设检验的方向和数据探索的影响较小，而取决于您的任务设计和对结果的期望。 在26.3节中讨论了试验与时间上的连通性之间的差异，但简要介绍了：时间上的连通性对于检测高频连通性以及对于事件状态持续时间长（即，至少几百毫秒）的静态数据或任务更敏感。 ）由于连接的时间精度较差； 试验中的连通性具有更高的时间精度，因此可以更好地识别连通性变化的时间过程，还可以更好地识别连通性的瞬时变化。
27 基于功率的联通性分析
基于功率波动的功能连通性分析为检查随时间和频率的连通性提供了一系列机会。 您可能已经在上一章中注意到，基于相位的连通性分析假定连通性是瞬时的（尽管不一定具有零相位滞后），并且具有相同的频率。 基于功率的连通性分析没有此约束，这使得它们对于假设驱动的以及探索性分析更加灵活。
皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数
皮尔逊相关系数是一种计算相关性的方法，它的公式如下：
Spearman相关性（有时也称为Spearmanρ）与Pearson相关性相似，但是它是非参数性的。 这是一种等级相关性，这意味着每个变量的数据都经过排序然后进行排名，以使数字0.1、0.2、0.21、10,000.1变为1、2、3、4。通常，在这种情况下10,000.1是 离群值，但对变量进行排名可以消除此离群值的影响，而无需将其从数据中删除。 在对数据进行等级转换（每个变量分别进行等级转换）之后，可以应用公式27.1。 有更快的算法可以计算Spearman相关性，这将在本章后面显示。 但是，从概念上讲，重要的是要理解Spearman相关性与Pearson相关性之间的唯一区别是，Spearman相关性涉及在应用公式之前对数据进行秩转换。 排名可以随着时间的推移或经过试验而完成； 哪个尺寸合适取决于您要使用哪个尺寸来计算相关系数。
作者认为最好采用 Spearman相关系数。
随时间变化的基于功率连接
要执行此分析，首先选择两个电极，计算功率时间序列（使用您喜欢的任何时频分解方法），然后计算两个电极随时间变化的功率之间的相关系数。 在图27.4A中，您可以看到电极F5和P4上的功率随时间变化的曲线，在图27.4B中，您可以看到一个电极中的功率与另一电极中的功率的关系。
跨试次功率联通性
有三种方法来实现跨试次的功率联通性。
第一种方法是最受假设驱动的，因为您指定了使用先验的时间-频率-电极窗口。 要执行此分析，请选择两个电极的时频窗口（两个电极的时频窗口不必相同），并从每次试验的那个窗口中提取功率（取平均值）。
第二种方法类似于如何计算ISPC试验的方法：在每个时间点与试验相关联的功效； 这将产生时间序列的相关系数。
第三种方法，从一个“种子”电极选择一个时频窗口，并将种子时频窗口中的交叉试验功率波动与一个，一些或所有电极上所有其他时频点的交叉试验功率波动相关联。
偏相关
偏相关可以让您测量两个变量（X和Y）之间的线性或单调（通过Pearson或Spearman相关）关系，同时使第三个变量（Z）保持不变。 对于基于EEG功率的连接，部分相关性可能很有用，原因有两个。 首先，它们可用于测试有关包含两个以上节点的网络的假设。 其次，在功率相关期间，可以使用部分相关来最小化体积传导伪影。 假设X和Y是两个彼此间隔几厘米的电极，并且X和Z在物理上是相邻的电极。 如果X和Y之间的幂相关性与Z和Y之间的相关性非常相似，则可以归因于X和Z之间的体积传导。因此，在保持Z不变的情况下，计算X和Y之间的部分相关性将消除共享方差 在X和Z之间，其中大部分反映了体积传导。
28 格兰杰预测
Granger预测是在包括经济学和神经科学在内的许多领域中对定向功能连通性的既定度量（Bressler和Seth 2011； Granger 1969），并回答了以下问题：如果您知道电极B所测量的活动，现在可以预测电极A所测量的活动吗 过去（这比仅了解A的过去更好吗？） 如果在统计上支持“是”，则可以说B对A有Granger预测作用。与本书讨论的其他连通性度量不同，Granger预测基于多元自回归而不是频域 诸如小波卷积或希尔伯特滤波器的变换。 极端的时间下采样可能不利于Granger预测，并有可能导致虚假甚至相反的估计（Florin等，2010； Seth，Chorley和Barnett，2013）。 因此，您应该对原始的高采样率数据执行Granger预测分析，然后可选地对结果进行下采样以节省磁盘空间或减少计算时间（如第27.5节中所述）。 另一方面，如果采样率高于大脑区域交互作用的时间精度，则将有更多参数适合自回归模型（稍后将对此进行更多介绍）。 因此，数据的时间分辨率应匹配（或略高于）时间预期的大脑连接动力学的精度。 通常，采样率在250 Hz至1000 Hz之间是合适的。
预备知识：自回归
单变量自回归：
格兰杰预测
Granger预测是两个模型的误差的相对大小：一个单变量模型，其中X的当前值仅根据X的过去值进行预测；一个双变量模型，其中X的当前值均根据X的过去值进行预测 并根据过去的Y值得出。
请记住，每个时间点都有错误。 如何比较单变量和双变量自回归模型之间的误差向量？ 您无法比较误差的平均值，因为误差（理想情况下）是随机的并且均值为零。 考虑一下，如果模型对数据的拟合度很高，则误差将很小，因此变异性相对较小；而如果模型对数据的拟合度不佳，则误差将很大，因此变异性就会相对较高。 。 因此，将二元自回归模型的误差方差与一元自回归模型的误差方差进行比较。 该比较被视为误差方差比的对数，并且是格兰杰预测的数学定义。 方差对数是一种方便的度量标准，因为除其他功能外，它以卡方函数的形式分布，这对统计评估很有用。
29 互信息
互信息和相关概念（包括熵，联合熵和条件熵）形成了一组数学/统计技术，在科学，工程和信息通信中具有许多用途。 这些技术虽然在认知电生理学（尤其是连通性分析）方面具有某些优势，但在认知神经科学中的应用较少。 互信息是一个简单而强大的框架，用于量化两个变量之间共享的信息量（见图29.1）。 对于EEG分析，这两个变量可以是来自两个不同电极的信号，可以是来自同一电极的两个信号（例如，功率和相位，或处于两个不同频率的活度），也可以是来自电极和一个电极的一个信号。 行为或实验变量。 因此，互信息是一种灵活的分析框架，其可以被定制以识别连通性的模式，而与数据的分布（例如，线性，非线性，圆形）无关。
熵
熵是互信息的基本构建块，因此首先介绍。 在这里，术语“熵”用来指信息论中的香农熵。 它是信息量或“惊喜”，变量具有且不应与熵的热力学概念相混淆，或令人讨厌的事实是您的公寓不断变得越来越杂乱，而不是更少。 要使用连续数据（例如EEG）计算熵，首先要对数据进行分箱，就像创建直方图一样。 可以使用Matlab函数历史记录对连续数据进行合并。 接下来，计算数据值落入每个仓中的概率。 这是简单的箱计数除以所有箱计数的总和。 然后，将概率值乘以该概率值的以2为底的对数。 最后，将所有概率对数概率值相加并乘以–1。
联合熵
互信息
共同信息是两个变量之间共享的信息量（图29.1）。 可以通过将两个变量的单个熵相加然后减去它们的联合熵来计算（此表达式应从图29.1的角度来看很直观）。
滞后互信息
到目前为止，互信息是双向的，这意味着无法确定连通性是A→B还是B→A（或两者）。 但是，相互信息可以适于推断关于方向性的信息。 一种适应是滞后的互信息，它涉及将一个信号相对于另一信号进行时移，并在多个时滞内重复计算互信息（Fraser和Swinney 1986）。 该方法已应用于时频相位数据（Wilmer，de Lussanet和Lappe 2012）。 图29.12A显示了关于模拟数据的滞后的相互信息。 此处的数据是一个10 Hz的正弦波和一个反向正弦波，这就是为什么每个半相位周期都有尖锐的节奏峰值的原因。
30 跨频率耦合
跨频耦合是指在两个不同频带中的活动之间的统计关系，已经在许多物种和许多大脑区域中观察到，并且已与几种认知过程和疾病状态相关联。 跨频耦合分析需要电生理测量的高时间分辨率和高时间精度。 因此，您应该对高采样率数据执行跨频耦合分析。 您还应该仔细选择时间-频率分解分析参数：尝试选择可提高时间精度的参数，即使这会降低频率精度。 尽管这将对解释结果产生影响，但具有较高的时间精度将提供更高的灵敏度来检测真实的交叉频率耦合。 交叉频率耦合有几种不同的表现形式，并且有几种测试交叉频率耦合的方法。 本章介绍了一些更常用的方法。 本章中几种分析技术所基于的数学原理均基于Euler公式以及使用Euler公式来平均相位值。 因此，在阅读本章之前，请确保您熟悉第13章和第19章中介绍的内容。
功率-功率跨频耦合
有两种计算功率-功率跨频耦合的方法： 两者均在第27章中介绍。一种方法是将两个功率时间序列随时间关联起来，其中两个时间序列取自不同的频段（在相同或不同的电极上）。 计算功率-功率交叉频率耦合的第二种方法是交叉试验时频功率相关性。